Elementos finitos de viga

Fundamentação

A idealização de uma estrutura em uma viga é baseada na observação da distribuição das tensões na seção transversal causadas pelo carregamento transversal. Esse carregamento transversal provoca uma flexão em toda a viga e gera uma distribuição de tensões na seção transversal que varia de uma tração à uma compressão, passando por um ponto de zero tensões conhecido como linha neutra. Além disso, o carregamento transversal gera tensões de cisalhamento paralelas à seção transversal, de variação parabólica com seu ponto de máximo exatamente na linha neutra. E mais, lembre-se que estamos considerando pequenas deformações, o material trabalhando em seu regime elástico linear e consideramos uma carga estática completamente aplicada.

Quando o valor de h é pequeno as simplificações das figuras (c) e (d) podem ser adotadas para pequenas deformações, conceitos esses empregados nas teorias de viga de Euler-Bernoulli e de Timoshenko.

Uma viga idealizada com a teoria de Euler-Bernoulli, viga de Euler-Bernoulli, além das simplificações mencionadas também considera que a seção permanece plana após a deformação e perpendicular à deflexão da viga, $w(x)$, e desconsidera quaisquer deflexões causadas pelo cisalhamento, por serem pequenas e acabarem sendo irrelevantes.

Assim, podemos escrever que a quarta variação dessas deflexões da viga em relação a sua direção axial é igual ao negativo da carga distribuída, $g$, sobre a rigidez à flexão da peça, $EI$. Portanto, a equação diferencial de uma viga, ou equação diferencial da linha neutra é escrita como:

$$\dfrac{d^4w}{dx^4} = -\dfrac{g}{EI}$$

Sendo $E$ o módulo de elasticidade do material (considerado como não variável ao longo da peça) e $I$ o momento de inércia (ou segundo momento de área, também considerado não variável ao longo da peça) da seção transversal em relação a um eixo que passa pelo centro geométrico dessa seção e é perpendicular ao plano do carregamento, perpendicular ao plano XY.

Essa viga com um certo volume em uma geometria qualquer tridimensional também pode ser representada em uma idealização unidimensional para cálculo de seus efeitos, visto que as tensões são consideradas variando linearmente na viga e algumas simplificações são adotadas, como a desconsideração dos efeitos de Saint-Venant (pela carga ser distribuída e por ocorrerem em uma pequena região nos extremos e não interferirem de forma relevante no resposta mecânica total da viga da estrutura) e as deformações transversais na direção $Y$ são desprezadas (por serem muito pequenas, pois estamos considerando uma viga de pequena altura se comparada com seu comprimento). Mas lembre-se todos esses efeitos que são desconsiderados existem, porém como a viga é de pouca altura esses efeitos acabam sendo tão pequenos que se tornam irrelevantes.

Saint-Venant

Recordando, o Princípio de Saint-Venant estabelece que nas regiões localizadas próximo à aplicação de carga ou restrições, o nível de tensão na peça atinge valores elevados e difunde na medida em que se afasta dessas regiões,tendendo ao valor médio de tensão.

No caso de uma viga com um altura um pouco maior, em relação ao seu comprimento, as deflexões causadas pelo cisalhamento influenciam de forma mais significativa em $w(x)$ e devem ser consideradas. Nesse caso a viga é conhecida como viga de Timoshenko, que também define que a seção transversal não mais permanece perpendicular às deflexões, $w(x)$, na linha neutra tornando sua equação diferencial um pouco mais complexa.

$$\dfrac{d^4w}{dx^4} - \dfrac{1}{\kappa A G} \dfrac{d^2 g}{dx^2} = - \dfrac{g}{EI}$$

A constante $\kappa$ é conhecida como coeficiente de cisalhamento e é definida com o valor de 5/6 para uma seção retangular, 2,544 para uma seção I duplamente simétrica, 3,38 para uma seção T, 2,4 para uma seção tubular quadrada e 2,0 para uma seção tubular circular (valores esses da teoria clássica).

Muito bem, mas o quanto é essa tal altura em que eu precisaria começar a considerar as deformações de cilhamento? Observe que no caso da rigidez a flexão, $EI$, dividida pelo coefficiente de cisalhamento, $\kappa$, multiplicado pela rigidez ao cisalhamento, $AG$, e pelo comprimento da viga ao quadrado, ser muito menor que 1, pode-se usar a teoria da viga de Euler-Bernoulli, caso contrário deve-se utilizar a viga de Timoshenko.

$$\dfrac{EI}{\kappa L^2 A G} \ll 1$$

Para quem ainda não se ligou, $G$ é o módulo de elasticidade transversal do material da viga e $A$ a área da seção transversal.

Atenção

Não se recomenda a utilização de ambas as teorias para uma relação de $\dfrac{h}{L} > \dfrac{1}{3}$, por induzirem a erros consideráveis nos resultados. No caso, recomenda-se modelar a viga utilizando estado plano de tensões.

Na viga de Timoshenko considera-se uma rotação adicional entre a seção transversal e a linha neutra, ou seja, a rotação total da seção transversal não é somente $dw/dw$, mas sim $dw/dx + \theta$, sendo esse $\theta$ a rotação que vai se transformar na deformação de cisalhamento.

Neste material iremos trabalhar apenas com um elemento finito de viga que segue a teoria de Euler-Bernoulli, então, atenção às simplificações e premissas da teoria para não aplicá-la de maneira incorreta! Vamos entender melhor essa teoria de Euler-Bernoulli.