Elementos finitos de pórtico
Fundamentação
A ideia da idealização de uma estrutura em um pórtico é baseada, também, na observação da distribuição das tensões na seção transversal causadas pelo carregamento transversal na peça. Esse carregamento transversal provoca uma flexão em toda a viga e gera uma distribuição de tensões na seção transversal que varia linearmente de uma tração à uma compressão, passando por um ponto de zero tensões conhecida como linha neutra. Além disso, o carregamento transversal gera tensões de cisalhamento paralelas à seção transversal, de variação parabólica com seu ponto de máximo exatamente na linha neutra. Parece por enquanto a mesma coisa de uma viga, não é? Mas observe que a reação do carregamento lateral das colunas nas viga gera uma solicitação axial na mesma e a própria viga e o peso próprio estão comprimindo as colunas. Ou seja, no caso do pórtico, a distribuição de tensões na seção transversal pode ser compreendida como a soma de uma distribuição de tensões de flexão e de tensões uniformes. E mais, lembre-se que estamos considerando pequenas deformações, o material trabalhando em seu regime elástico linear e consideramos uma carga estática completamente aplicada.
Claro que as disposições acima são simplificações do problema. Existem muitos mais efeitos associados mas que podem ser desprezados por serem relativamente muito, mas muito pequenos mesmo.
Por fim, nada mais óbvio que concluir que para montarmos um elemento de pórtico precisamos associar um elemento de treliça com um elemento de viga, mantendo os graus de liberdade axiais desacoplados dos graus de liberdade de flexão.
Elemento de pórtico
Nossa abordagem neste tópico será bem simples e prática. Vamos pensar nos efeitos que queremos representar e associar elementos já conhecidos para representá-los.
Para começar, vamos relembrar o elemento de treliça original no sistema local.
Observe que renomeei os graus de liberdade de treliça para facilitar a montagem do elemento de pórtico. Nosso elemento de treliça no sistema local possui dois graus de liberdade representando o efeito da solicitação axial apenas. Tal efeito, dentro do contexto do MEF resultava em uma matriz de rigidez:
Representativa desses efeitos axiais para a consideração de seção e material constantes no comprimento do elemento, material no regime elástico linear e pequenas deformações.
O elemento de viga de Euler-Bernoulli representa a flexão para peças de relativa pequena altura, ou em outras palavras, desconsiderando o efeito das deformações por cisalhamento, e possuía 4 graus de liberdade no sistema local, único sistema adotado para as relações matemáticas por ser coincidente com o sistema global da estrutura somente com vigas.
Observe que renomeei os graus de liberdade de viga para facilitar a montagem do elemento de pórtico. Dentro das considerações do MEF chegávamos a uma matriz de rigidez para o elemento que acoplava os graus de liberdade de translação e de rotação.
Nosso objetivo agora é associar os efeitos de ambos os elementos mas sem acoplar suas rigidezes, ou seja, vamos construir o elemento de pórtico sobrepondo os elementos de treliça e de viga de Euler-Bernoulli mas sem tratar as rigidezes associadas aos efeitos cruzados entre graus de liberdade axiais e de flexão.
Portanto, os efeitos do grau de liberdade 1, por exemplo, nos graus de liberdade 2, 3, 5 e 6 devem ser zero, assim como os do 4 nos 2, 3, 5 e 6 também devem ser zero, sendo o recíproco verdadeiro. Sendo assim, vamos preencher a matriz de rigidez do elemento de pórtico com rigidezes representativas de cada grau de liberdade em suas 6 linhas e 6 colunas.
O problema do elemento de pórtico é que, assim como o de treliça, pode se apresentar na estrutura em uma posição diferente da definida no sistema local e portanto precisamos aplicar aos seus deslocamentos nodais e suas forças nodais equivalentes uma decomposição no sistema global. Nos faremos isso utilizando a matriz de rotação.
Matriz de rigidez no sistema global
Primeiro, precisamos escrever os graus de liberdade no sistema global. Observe que os graus de liberdade de rotação 3 e 6 por estarem na direção o eixo z local e pelo eixo z ser coincidente com o eixo Z global não precisam de quaisquer decomposições pois seus efeitos no sistema global são os mesmos do sistema local.
Agora, caso o elemento de pórtico não esteja na horizontal na estrutura precisamos decompor corretamente as componentes locais nas globais. Para isso, vamos decompor a matriz de rigidez 6x6 utilizando a matriz de rotação $\textbf{R}_2$ de vetores, função de um ângulo $\theta$ que é medido a partir da direção positiva do eixo X global no sentido anti-horário, aplicada a cada um dos graus de liberdade locais, o que resulta em uma matriz de rotação bidimensional 6x6:
Observe que essa matriz não decompõe os graus de liberdade 3 e 6.
Matriz de rotação
Uma matriz de rotação é uma matriz quadrada que quando aplicada sobre a representação matemática de vetor, uma matriz coluna, tem o efeito de mudar a direção do vetor por ela representado mas não a sua magnitude, fazendo-o assim fisicamente revolver em torno de um eixo de rotação definido pelos elementos da matriz, por um valor angular também por eles especificado. No caso de uma matriz não somente coluna, vetor, deve-se aplicar a rotação duas vezes, pré e pós matriz para que todos os elementos consigam ser rescritos na nova orientação.
Essa decomposição nos leva a uma dupla transformação da matriz de rigidez que pode ser calculada multiplicando ela duas vezes pela matriz de rotação, ou seja, a matriz de rigidez do elemento no sistema global, $\textbf{k}_g$, se escreve:
Sendo $s = sen \theta$ e $c = cos \theta$.
E agora?! Agora é hora aplicar os conceitos ao nosso pórtico metálico e resolvê-lo na mão na aplicação na mão