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DV9-me

Viga duplo-vão com momento concentrado no vão da direita

M Momento concentrado Apoio rotulado R1 Apoio simples R2 Apoio simples R3 A viga A viga A viga a Cota b Cota L Cota A x Identificador B Identificador C Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(M\) - momento concentrado;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{M x \left(L^{2} a^{2} - L^{2} x^{2} - 2 L a^{3} + 2 L a x^{2} + a^{4} - 3 a^{2} b^{2} - a^{2} x^{2} + 3 b^{2} x^{2}\right)}{12 E I L a \left(- L + a\right)}\)

\(\delta_B = \dfrac{M \left(L^{3} a^{2} - 4 L^{3} a x + 3 L^{3} x^{2} + 3 L^{2} a^{2} x - 3 L^{2} x^{3} - L a^{4} - 3 L a^{2} b^{2} - 3 L a^{2} x^{2} + 12 L a b^{2} x + 4 L a x^{3} - 9 L b^{2} x^{2} + a^{4} x - 3 a^{2} b^{2} x - a^{2} x^{3} + 3 b^{2} x^{3}\right)}{12 E I L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

\(\delta_C = \dfrac{M \left(6 L^{5} - 12 L^{4} a - 12 L^{4} b - 12 L^{4} x + 7 L^{3} a^{2} + 24 L^{3} a b + 20 L^{3} a x + 6 L^{3} b^{2} + 12 L^{3} b x + 9 L^{3} x^{2} - 12 L^{2} a^{2} b - 9 L^{2} a^{2} x - 12 L^{2} a b^{2} - 24 L^{2} a b x - 12 L^{2} a x^{2} - 3 L^{2} x^{3} - L a^{4} + 3 L a^{2} b^{2} + 12 L a^{2} b x + 3 L a^{2} x^{2} + 12 L a b^{2} x + 4 L a x^{3} - 9 L b^{2} x^{2} + a^{4} x - 3 a^{2} b^{2} x - a^{2} x^{3} + 3 b^{2} x^{3}\right)}{12 E I L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{M x \left(- L^{2} + 2 L a - a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 L a \left(- L + a\right)}\)

\(M_B = \dfrac{M \left(L^{3} - 3 L^{2} x - L a^{2} + 4 L a x - 3 L b^{2} - a^{2} x + 3 b^{2} x\right)}{2 L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

\(M_C = \dfrac{M \left(3 L^{3} - 4 L^{2} a - 3 L^{2} x + L a^{2} + 4 L a x - 3 L b^{2} - a^{2} x + 3 b^{2} x\right)}{2 L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{M \left(- L^{2} + 2 L a - a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 L a \left(- L + a\right)}\)

\(V_B = \dfrac{M \left(- 3 L^{2} + 4 L a - a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

\(V_C = \dfrac{M \left(- 3 L^{2} + 4 L a - a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{M \left(L^{2} - 2 L a + a^{2} - 3 b^{2}\right)}{2 L a \left(L - a\right)}\)

\(R_2 = \dfrac{M \left(- L^{2} + a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 a \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

\(R_3 = \dfrac{M \left(3 L^{2} - 4 L a + a^{2} - 3 b^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} - 2 L a + a^{2}\right)}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = M*x*(L**2*a**2 - L**2*x**2 - 2*L*a**3 + 2*L*a*x**2 + a**4 - 3*a**2*b**2 - a**2*x**2 + 3*b**2*x**2)/(12*E*I*L*a*(-L + a))
deltaB = M*(L**3*a**2 - 4*L**3*a*x + 3*L**3*x**2 + 3*L**2*a**2*x - 3*L**2*x**3 - L*a**4 - 3*L*a**2*b**2 - 3*L*a**2*x**2 + 12*L*a*b**2*x + 4*L*a*x**3 - 9*L*b**2*x**2 + a**4*x - 3*a**2*b**2*x - a**2*x**3 + 3*b**2*x**3)/(12*E*I*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))
deltaC = M*(6*L**5 - 12*L**4*a - 12*L**4*b - 12*L**4*x + 7*L**3*a**2 + 24*L**3*a*b + 20*L**3*a*x + 6*L**3*b**2 + 12*L**3*b*x + 9*L**3*x**2 - 12*L**2*a**2*b - 9*L**2*a**2*x - 12*L**2*a*b**2 - 24*L**2*a*b*x - 12*L**2*a*x**2 - 3*L**2*x**3 - L*a**4 + 3*L*a**2*b**2 + 12*L*a**2*b*x + 3*L*a**2*x**2 + 12*L*a*b**2*x + 4*L*a*x**3 - 9*L*b**2*x**2 + a**4*x - 3*a**2*b**2*x - a**2*x**3 + 3*b**2*x**3)/(12*E*I*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))

Momentos fletores

MA = M*x*(-L**2 + 2*L*a - a**2 + 3*b**2)/(2*L*a*(-L + a))
MB = M*(L**3 - 3*L**2*x - L*a**2 + 4*L*a*x - 3*L*b**2 - a**2*x + 3*b**2*x)/(2*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))
MC = M*(3*L**3 - 4*L**2*a - 3*L**2*x + L*a**2 + 4*L*a*x - 3*L*b**2 - a**2*x + 3*b**2*x)/(2*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))

Esforços cortantes

VA = M*(-L**2 + 2*L*a - a**2 + 3*b**2)/(2*L*a*(-L + a))
VB = M*(-3*L**2 + 4*L*a - a**2 + 3*b**2)/(2*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))
VC = M*(-3*L**2 + 4*L*a - a**2 + 3*b**2)/(2*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))

Reações de apoio

R1 = M*(L**2 - 2*L*a + a**2 - 3*b**2)/(2*L*a*(L - a))
R2 = M*(-L**2 + a**2 + 3*b**2)/(2*a*(L**2 - 2*L*a + a**2))
R3 = M*(3*L**2 - 4*L*a + a**2 - 3*b**2)/(2*L*(L**2 - 2*L*a + a**2))