InícioDV10-mmestruturas.ufprVer outras vigas ☰

DV10-mm

Viga duplo-vão com momento concentrado em ambos os vãos

M Momento concentrado M Momento concentrado Apoio rotulado R1 Apoio simples R2 Apoio simples R3 A viga A viga A viga A viga a Cota b Cota c Cota L Cota A x Identificador B Identificador C Identificador D Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(M\) - momento concentrado;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(c\) - comprimento do tramo C;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{M x \left(- 4 L^{2} a^{3} - 12 L^{2} a^{2} b - 6 L^{2} a b^{2} + 4 L^{2} a x^{2} + 2 L^{2} b^{3} + 4 L^{2} b x^{2} + 8 L a^{4} + 26 L a^{3} b + 6 L a^{3} c + 27 L a^{2} b^{2} + 18 L a^{2} b c - 8 L a^{2} x^{2} + 8 L a b^{3} + 18 L a b^{2} c - 10 L a b x^{2} - 6 L a c x^{2} - L b^{4} + 6 L b^{3} c - 5 L b^{2} x^{2} - 6 L b c x^{2} - 4 a^{5} - 14 a^{4} b - 6 a^{4} c - 19 a^{3} b^{2} - 24 a^{3} b c - 3 a^{3} c^{2} + 4 a^{3} x^{2} - 13 a^{2} b^{3} - 36 a^{2} b^{2} c - 9 a^{2} b c^{2} + 6 a^{2} b x^{2} + 6 a^{2} c x^{2} - 5 a b^{4} - 24 a b^{3} c - 9 a b^{2} c^{2} + 3 a b^{2} x^{2} + 12 a b c x^{2} + 3 a c^{2} x^{2} - b^{5} - 6 b^{4} c - 3 b^{3} c^{2} + b^{3} x^{2} + 6 b^{2} c x^{2} + 3 b c^{2} x^{2}\right)}{12 E I L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(\delta_B = \dfrac{M \left(- 6 L^{2} a^{4} - 12 L^{2} a^{3} b + 8 L^{2} a^{3} x - 6 L^{2} a^{2} b^{2} + 12 L^{2} a^{2} b x - 6 L^{2} a^{2} x^{2} + 6 L^{2} a b^{2} x - 12 L^{2} a b x^{2} + 4 L^{2} a x^{3} + 2 L^{2} b^{3} x - 6 L^{2} b^{2} x^{2} + 4 L^{2} b x^{3} + 6 L a^{5} + 18 L a^{4} b - 4 L a^{4} x + 18 L a^{3} b^{2} - 10 L a^{3} b x + 6 L a^{3} c x + 6 L a^{3} x^{2} + 6 L a^{2} b^{3} - 9 L a^{2} b^{2} x + 18 L a^{2} b c x + 18 L a^{2} b x^{2} - 8 L a^{2} x^{3} - 4 L a b^{3} x + 18 L a b^{2} c x + 18 L a b^{2} x^{2} - 10 L a b x^{3} - 6 L a c x^{3} - L b^{4} x + 6 L b^{3} c x + 6 L b^{3} x^{2} - 5 L b^{2} x^{3} - 6 L b c x^{3} - 4 a^{5} x - 14 a^{4} b x - 6 a^{4} c x - 19 a^{3} b^{2} x - 24 a^{3} b c x - 3 a^{3} c^{2} x + 4 a^{3} x^{3} - 13 a^{2} b^{3} x - 36 a^{2} b^{2} c x - 9 a^{2} b c^{2} x + 6 a^{2} b x^{3} + 6 a^{2} c x^{3} - 5 a b^{4} x - 24 a b^{3} c x - 9 a b^{2} c^{2} x + 3 a b^{2} x^{3} + 12 a b c x^{3} + 3 a c^{2} x^{3} - b^{5} x - 6 b^{4} c x - 3 b^{3} c^{2} x + b^{3} x^{3} + 6 b^{2} c x^{3} + 3 b c^{2} x^{3}\right)}{12 E I L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(\delta_C = \dfrac{M \left(2 L^{3} a^{3} - 6 L^{3} a^{2} b + 4 L^{3} a^{2} x - 12 L^{3} a b^{2} + 20 L^{3} a b x - 6 L^{3} a x^{2} - 4 L^{3} b^{3} + 10 L^{3} b^{2} x - 6 L^{3} b x^{2} + 18 L^{2} a^{3} b + 6 L^{2} a^{3} c - 24 L^{2} a^{3} x + 45 L^{2} a^{2} b^{2} + 18 L^{2} a^{2} b c - 72 L^{2} a^{2} b x - 24 L^{2} a^{2} c x + 24 L^{2} a^{2} x^{2} + 36 L^{2} a b^{3} + 18 L^{2} a b^{2} c - 72 L^{2} a b^{2} x - 48 L^{2} a b c x + 30 L^{2} a b x^{2} + 18 L^{2} a c x^{2} + 9 L^{2} b^{4} + 6 L^{2} b^{3} c - 24 L^{2} b^{3} x - 24 L^{2} b^{2} c x + 15 L^{2} b^{2} x^{2} + 18 L^{2} b c x^{2} - 2 L a^{5} - 16 L a^{4} b - 6 L a^{4} c + 24 L a^{4} x - 41 L a^{3} b^{2} - 24 L a^{3} b c + 78 L a^{3} b x - 3 L a^{3} c^{2} + 30 L a^{3} c x - 18 L a^{3} x^{2} - 47 L a^{2} b^{3} - 36 L a^{2} b^{2} c + 99 L a^{2} b^{2} x - 9 L a^{2} b c^{2} + 90 L a^{2} b c x - 36 L a^{2} b x^{2} + 12 L a^{2} c^{2} x - 18 L a^{2} c x^{2} - 4 L a^{2} x^{3} - 25 L a b^{4} - 24 L a b^{3} c + 60 L a b^{3} x - 9 L a b^{2} c^{2} + 90 L a b^{2} c x - 27 L a b^{2} x^{2} + 24 L a b c^{2} x - 36 L a b c x^{2} - 2 L a b x^{3} - 9 L a c^{2} x^{2} - 6 L a c x^{3} - 5 L b^{5} - 6 L b^{4} c + 15 L b^{4} x - 3 L b^{3} c^{2} + 30 L b^{3} c x - 9 L b^{3} x^{2} + 12 L b^{2} c^{2} x - 18 L b^{2} c x^{2} - L b^{2} x^{3} - 9 L b c^{2} x^{2} - 6 L b c x^{3} - 4 a^{5} x - 14 a^{4} b x - 6 a^{4} c x - 19 a^{3} b^{2} x - 24 a^{3} b c x - 3 a^{3} c^{2} x + 4 a^{3} x^{3} - 13 a^{2} b^{3} x - 36 a^{2} b^{2} c x - 9 a^{2} b c^{2} x + 6 a^{2} b x^{3} + 6 a^{2} c x^{3} - 5 a b^{4} x - 24 a b^{3} c x - 9 a b^{2} c^{2} x + 3 a b^{2} x^{3} + 12 a b c x^{3} + 3 a c^{2} x^{3} - b^{5} x - 6 b^{4} c x - 3 b^{3} c^{2} x + b^{3} x^{3} + 6 b^{2} c x^{3} + 3 b c^{2} x^{3}\right)}{12 E I L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(\delta_D = \dfrac{M \left(8 L^{3} a^{3} + 12 L^{3} a^{2} b + 12 L^{3} a^{2} c - 8 L^{3} a^{2} x + 6 L^{3} a b^{2} + 24 L^{3} a b c - 4 L^{3} a b x + 6 L^{3} a c^{2} - 12 L^{3} a c x + 2 L^{3} b^{3} + 12 L^{3} b^{2} c - 2 L^{3} b^{2} x + 6 L^{3} b c^{2} - 12 L^{3} b c x - 12 L^{2} a^{4} - 30 L^{2} a^{3} b - 18 L^{2} a^{3} c - 27 L^{2} a^{2} b^{2} - 54 L^{2} a^{2} b c - 12 L^{2} a^{2} c^{2} + 12 L^{2} a^{2} x^{2} - 12 L^{2} a b^{3} - 54 L^{2} a b^{2} c - 24 L^{2} a b c^{2} + 6 L^{2} a b x^{2} + 18 L^{2} a c x^{2} - 3 L^{2} b^{4} - 18 L^{2} b^{3} c - 12 L^{2} b^{2} c^{2} + 3 L^{2} b^{2} x^{2} + 18 L^{2} b c x^{2} + 4 L a^{5} + 14 L a^{4} b + 6 L a^{4} c + 12 L a^{4} x + 19 L a^{3} b^{2} + 24 L a^{3} b c + 30 L a^{3} b x + 3 L a^{3} c^{2} + 18 L a^{3} c x - 12 L a^{3} x^{2} + 13 L a^{2} b^{3} + 36 L a^{2} b^{2} c + 27 L a^{2} b^{2} x + 9 L a^{2} b c^{2} + 54 L a^{2} b c x - 18 L a^{2} b x^{2} + 12 L a^{2} c^{2} x - 18 L a^{2} c x^{2} - 4 L a^{2} x^{3} + 5 L a b^{4} + 24 L a b^{3} c + 12 L a b^{3} x + 9 L a b^{2} c^{2} + 54 L a b^{2} c x - 9 L a b^{2} x^{2} + 24 L a b c^{2} x - 36 L a b c x^{2} - 2 L a b x^{3} - 9 L a c^{2} x^{2} - 6 L a c x^{3} + L b^{5} + 6 L b^{4} c + 3 L b^{4} x + 3 L b^{3} c^{2} + 18 L b^{3} c x - 3 L b^{3} x^{2} + 12 L b^{2} c^{2} x - 18 L b^{2} c x^{2} - L b^{2} x^{3} - 9 L b c^{2} x^{2} - 6 L b c x^{3} - 4 a^{5} x - 14 a^{4} b x - 6 a^{4} c x - 19 a^{3} b^{2} x - 24 a^{3} b c x - 3 a^{3} c^{2} x + 4 a^{3} x^{3} - 13 a^{2} b^{3} x - 36 a^{2} b^{2} c x - 9 a^{2} b c^{2} x + 6 a^{2} b x^{3} + 6 a^{2} c x^{3} - 5 a b^{4} x - 24 a b^{3} c x - 9 a b^{2} c^{2} x + 3 a b^{2} x^{3} + 12 a b c x^{3} + 3 a c^{2} x^{3} - b^{5} x - 6 b^{4} c x - 3 b^{3} c^{2} x + b^{3} x^{3} + 6 b^{2} c x^{3} + 3 b c^{2} x^{3}\right)}{12 E I L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{M x \left(4 L^{2} a + 4 L^{2} b - 8 L a^{2} - 10 L a b - 6 L a c - 5 L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(M_B = \dfrac{M \left(- 2 L^{2} a^{2} - 4 L^{2} a b + 4 L^{2} a x - 2 L^{2} b^{2} + 4 L^{2} b x + 2 L a^{3} + 6 L a^{2} b - 8 L a^{2} x + 6 L a b^{2} - 10 L a b x - 6 L a c x + 2 L b^{3} - 5 L b^{2} x - 6 L b c x + 4 a^{3} x + 6 a^{2} b x + 6 a^{2} c x + 3 a b^{2} x + 12 a b c x + 3 a c^{2} x + b^{3} x + 6 b^{2} c x + 3 b c^{2} x\right)}{2 L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(M_C = \dfrac{M \left(- 2 L^{3} a - 2 L^{3} b + 8 L^{2} a^{2} + 10 L^{2} a b + 6 L^{2} a c + 5 L^{2} b^{2} + 6 L^{2} b c - 6 L a^{3} - 12 L a^{2} b - 6 L a^{2} c - 4 L a^{2} x - 9 L a b^{2} - 12 L a b c - 2 L a b x - 3 L a c^{2} - 6 L a c x - 3 L b^{3} - 6 L b^{2} c - L b^{2} x - 3 L b c^{2} - 6 L b c x + 4 a^{3} x + 6 a^{2} b x + 6 a^{2} c x + 3 a b^{2} x + 12 a b c x + 3 a c^{2} x + b^{3} x + 6 b^{2} c x + 3 b c^{2} x\right)}{2 L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(M_D = \dfrac{M \left(4 L^{2} a^{2} + 2 L^{2} a b + 6 L^{2} a c + L^{2} b^{2} + 6 L^{2} b c - 4 L a^{3} - 6 L a^{2} b - 6 L a^{2} c - 4 L a^{2} x - 3 L a b^{2} - 12 L a b c - 2 L a b x - 3 L a c^{2} - 6 L a c x - L b^{3} - 6 L b^{2} c - L b^{2} x - 3 L b c^{2} - 6 L b c x + 4 a^{3} x + 6 a^{2} b x + 6 a^{2} c x + 3 a b^{2} x + 12 a b c x + 3 a c^{2} x + b^{3} x + 6 b^{2} c x + 3 b c^{2} x\right)}{2 L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{M \left(4 L^{2} a + 4 L^{2} b - 8 L a^{2} - 10 L a b - 6 L a c - 5 L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(V_B = \dfrac{M \left(4 L^{2} a + 4 L^{2} b - 8 L a^{2} - 10 L a b - 6 L a c - 5 L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(V_C = \dfrac{M \left(- 4 L a^{2} - 2 L a b - 6 L a c - L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(V_D = \dfrac{M \left(- 4 L a^{2} - 2 L a b - 6 L a c - L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{M \left(4 L^{2} a + 4 L^{2} b - 8 L a^{2} - 10 L a b - 6 L a c - 5 L b^{2} - 6 L b c + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 6 a^{2} c + 3 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(- L a^{2} - 2 L a b - L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

\(R_2 = \dfrac{M \left(4 L^{2} a + 4 L^{2} b - 12 L a^{2} - 18 L a b - 6 L a c - 9 L b^{2} - 6 L b c + 8 a^{3} + 18 a^{2} b + 6 a^{2} c + 15 a b^{2} + 12 a b c + 3 a c^{2} + 5 b^{3} + 6 b^{2} c + 3 b c^{2}\right)}{2 \left(L^{2} a^{2} + 2 L^{2} a b + L^{2} b^{2} - 2 L a^{3} - 6 L a^{2} b - 6 L a b^{2} - 2 L b^{3} + a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}\right)}\)

\(R_3 = \dfrac{M \left(4 L a^{2} + 2 L a b + 6 L a c + L b^{2} + 6 L b c - 4 a^{3} - 6 a^{2} b - 6 a^{2} c - 3 a b^{2} - 12 a b c - 3 a c^{2} - b^{3} - 6 b^{2} c - 3 b c^{2}\right)}{2 L \left(L^{2} a + L^{2} b - 2 L a^{2} - 4 L a b - 2 L b^{2} + a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}\right)}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = M*x*(-4*L**2*a**3 - 12*L**2*a**2*b - 6*L**2*a*b**2 + 4*L**2*a*x**2 + 2*L**2*b**3 + 4*L**2*b*x**2 + 8*L*a**4 + 26*L*a**3*b + 6*L*a**3*c + 27*L*a**2*b**2 + 18*L*a**2*b*c - 8*L*a**2*x**2 + 8*L*a*b**3 + 18*L*a*b**2*c - 10*L*a*b*x**2 - 6*L*a*c*x**2 - L*b**4 + 6*L*b**3*c - 5*L*b**2*x**2 - 6*L*b*c*x**2 - 4*a**5 - 14*a**4*b - 6*a**4*c - 19*a**3*b**2 - 24*a**3*b*c - 3*a**3*c**2 + 4*a**3*x**2 - 13*a**2*b**3 - 36*a**2*b**2*c - 9*a**2*b*c**2 + 6*a**2*b*x**2 + 6*a**2*c*x**2 - 5*a*b**4 - 24*a*b**3*c - 9*a*b**2*c**2 + 3*a*b**2*x**2 + 12*a*b*c*x**2 + 3*a*c**2*x**2 - b**5 - 6*b**4*c - 3*b**3*c**2 + b**3*x**2 + 6*b**2*c*x**2 + 3*b*c**2*x**2)/(12*E*I*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
deltaB = M*(-6*L**2*a**4 - 12*L**2*a**3*b + 8*L**2*a**3*x - 6*L**2*a**2*b**2 + 12*L**2*a**2*b*x - 6*L**2*a**2*x**2 + 6*L**2*a*b**2*x - 12*L**2*a*b*x**2 + 4*L**2*a*x**3 + 2*L**2*b**3*x - 6*L**2*b**2*x**2 + 4*L**2*b*x**3 + 6*L*a**5 + 18*L*a**4*b - 4*L*a**4*x + 18*L*a**3*b**2 - 10*L*a**3*b*x + 6*L*a**3*c*x + 6*L*a**3*x**2 + 6*L*a**2*b**3 - 9*L*a**2*b**2*x + 18*L*a**2*b*c*x + 18*L*a**2*b*x**2 - 8*L*a**2*x**3 - 4*L*a*b**3*x + 18*L*a*b**2*c*x + 18*L*a*b**2*x**2 - 10*L*a*b*x**3 - 6*L*a*c*x**3 - L*b**4*x + 6*L*b**3*c*x + 6*L*b**3*x**2 - 5*L*b**2*x**3 - 6*L*b*c*x**3 - 4*a**5*x - 14*a**4*b*x - 6*a**4*c*x - 19*a**3*b**2*x - 24*a**3*b*c*x - 3*a**3*c**2*x + 4*a**3*x**3 - 13*a**2*b**3*x - 36*a**2*b**2*c*x - 9*a**2*b*c**2*x + 6*a**2*b*x**3 + 6*a**2*c*x**3 - 5*a*b**4*x - 24*a*b**3*c*x - 9*a*b**2*c**2*x + 3*a*b**2*x**3 + 12*a*b*c*x**3 + 3*a*c**2*x**3 - b**5*x - 6*b**4*c*x - 3*b**3*c**2*x + b**3*x**3 + 6*b**2*c*x**3 + 3*b*c**2*x**3)/(12*E*I*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
deltaC = M*(2*L**3*a**3 - 6*L**3*a**2*b + 4*L**3*a**2*x - 12*L**3*a*b**2 + 20*L**3*a*b*x - 6*L**3*a*x**2 - 4*L**3*b**3 + 10*L**3*b**2*x - 6*L**3*b*x**2 + 18*L**2*a**3*b + 6*L**2*a**3*c - 24*L**2*a**3*x + 45*L**2*a**2*b**2 + 18*L**2*a**2*b*c - 72*L**2*a**2*b*x - 24*L**2*a**2*c*x + 24*L**2*a**2*x**2 + 36*L**2*a*b**3 + 18*L**2*a*b**2*c - 72*L**2*a*b**2*x - 48*L**2*a*b*c*x + 30*L**2*a*b*x**2 + 18*L**2*a*c*x**2 + 9*L**2*b**4 + 6*L**2*b**3*c - 24*L**2*b**3*x - 24*L**2*b**2*c*x + 15*L**2*b**2*x**2 + 18*L**2*b*c*x**2 - 2*L*a**5 - 16*L*a**4*b - 6*L*a**4*c + 24*L*a**4*x - 41*L*a**3*b**2 - 24*L*a**3*b*c + 78*L*a**3*b*x - 3*L*a**3*c**2 + 30*L*a**3*c*x - 18*L*a**3*x**2 - 47*L*a**2*b**3 - 36*L*a**2*b**2*c + 99*L*a**2*b**2*x - 9*L*a**2*b*c**2 + 90*L*a**2*b*c*x - 36*L*a**2*b*x**2 + 12*L*a**2*c**2*x - 18*L*a**2*c*x**2 - 4*L*a**2*x**3 - 25*L*a*b**4 - 24*L*a*b**3*c + 60*L*a*b**3*x - 9*L*a*b**2*c**2 + 90*L*a*b**2*c*x - 27*L*a*b**2*x**2 + 24*L*a*b*c**2*x - 36*L*a*b*c*x**2 - 2*L*a*b*x**3 - 9*L*a*c**2*x**2 - 6*L*a*c*x**3 - 5*L*b**5 - 6*L*b**4*c + 15*L*b**4*x - 3*L*b**3*c**2 + 30*L*b**3*c*x - 9*L*b**3*x**2 + 12*L*b**2*c**2*x - 18*L*b**2*c*x**2 - L*b**2*x**3 - 9*L*b*c**2*x**2 - 6*L*b*c*x**3 - 4*a**5*x - 14*a**4*b*x - 6*a**4*c*x - 19*a**3*b**2*x - 24*a**3*b*c*x - 3*a**3*c**2*x + 4*a**3*x**3 - 13*a**2*b**3*x - 36*a**2*b**2*c*x - 9*a**2*b*c**2*x + 6*a**2*b*x**3 + 6*a**2*c*x**3 - 5*a*b**4*x - 24*a*b**3*c*x - 9*a*b**2*c**2*x + 3*a*b**2*x**3 + 12*a*b*c*x**3 + 3*a*c**2*x**3 - b**5*x - 6*b**4*c*x - 3*b**3*c**2*x + b**3*x**3 + 6*b**2*c*x**3 + 3*b*c**2*x**3)/(12*E*I*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
deltaD = M*(8*L**3*a**3 + 12*L**3*a**2*b + 12*L**3*a**2*c - 8*L**3*a**2*x + 6*L**3*a*b**2 + 24*L**3*a*b*c - 4*L**3*a*b*x + 6*L**3*a*c**2 - 12*L**3*a*c*x + 2*L**3*b**3 + 12*L**3*b**2*c - 2*L**3*b**2*x + 6*L**3*b*c**2 - 12*L**3*b*c*x - 12*L**2*a**4 - 30*L**2*a**3*b - 18*L**2*a**3*c - 27*L**2*a**2*b**2 - 54*L**2*a**2*b*c - 12*L**2*a**2*c**2 + 12*L**2*a**2*x**2 - 12*L**2*a*b**3 - 54*L**2*a*b**2*c - 24*L**2*a*b*c**2 + 6*L**2*a*b*x**2 + 18*L**2*a*c*x**2 - 3*L**2*b**4 - 18*L**2*b**3*c - 12*L**2*b**2*c**2 + 3*L**2*b**2*x**2 + 18*L**2*b*c*x**2 + 4*L*a**5 + 14*L*a**4*b + 6*L*a**4*c + 12*L*a**4*x + 19*L*a**3*b**2 + 24*L*a**3*b*c + 30*L*a**3*b*x + 3*L*a**3*c**2 + 18*L*a**3*c*x - 12*L*a**3*x**2 + 13*L*a**2*b**3 + 36*L*a**2*b**2*c + 27*L*a**2*b**2*x + 9*L*a**2*b*c**2 + 54*L*a**2*b*c*x - 18*L*a**2*b*x**2 + 12*L*a**2*c**2*x - 18*L*a**2*c*x**2 - 4*L*a**2*x**3 + 5*L*a*b**4 + 24*L*a*b**3*c + 12*L*a*b**3*x + 9*L*a*b**2*c**2 + 54*L*a*b**2*c*x - 9*L*a*b**2*x**2 + 24*L*a*b*c**2*x - 36*L*a*b*c*x**2 - 2*L*a*b*x**3 - 9*L*a*c**2*x**2 - 6*L*a*c*x**3 + L*b**5 + 6*L*b**4*c + 3*L*b**4*x + 3*L*b**3*c**2 + 18*L*b**3*c*x - 3*L*b**3*x**2 + 12*L*b**2*c**2*x - 18*L*b**2*c*x**2 - L*b**2*x**3 - 9*L*b*c**2*x**2 - 6*L*b*c*x**3 - 4*a**5*x - 14*a**4*b*x - 6*a**4*c*x - 19*a**3*b**2*x - 24*a**3*b*c*x - 3*a**3*c**2*x + 4*a**3*x**3 - 13*a**2*b**3*x - 36*a**2*b**2*c*x - 9*a**2*b*c**2*x + 6*a**2*b*x**3 + 6*a**2*c*x**3 - 5*a*b**4*x - 24*a*b**3*c*x - 9*a*b**2*c**2*x + 3*a*b**2*x**3 + 12*a*b*c*x**3 + 3*a*c**2*x**3 - b**5*x - 6*b**4*c*x - 3*b**3*c**2*x + b**3*x**3 + 6*b**2*c*x**3 + 3*b*c**2*x**3)/(12*E*I*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))

Momentos fletores

MA = M*x*(4*L**2*a + 4*L**2*b - 8*L*a**2 - 10*L*a*b - 6*L*a*c - 5*L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
MB = M*(-2*L**2*a**2 - 4*L**2*a*b + 4*L**2*a*x - 2*L**2*b**2 + 4*L**2*b*x + 2*L*a**3 + 6*L*a**2*b - 8*L*a**2*x + 6*L*a*b**2 - 10*L*a*b*x - 6*L*a*c*x + 2*L*b**3 - 5*L*b**2*x - 6*L*b*c*x + 4*a**3*x + 6*a**2*b*x + 6*a**2*c*x + 3*a*b**2*x + 12*a*b*c*x + 3*a*c**2*x + b**3*x + 6*b**2*c*x + 3*b*c**2*x)/(2*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
MC = M*(-2*L**3*a - 2*L**3*b + 8*L**2*a**2 + 10*L**2*a*b + 6*L**2*a*c + 5*L**2*b**2 + 6*L**2*b*c - 6*L*a**3 - 12*L*a**2*b - 6*L*a**2*c - 4*L*a**2*x - 9*L*a*b**2 - 12*L*a*b*c - 2*L*a*b*x - 3*L*a*c**2 - 6*L*a*c*x - 3*L*b**3 - 6*L*b**2*c - L*b**2*x - 3*L*b*c**2 - 6*L*b*c*x + 4*a**3*x + 6*a**2*b*x + 6*a**2*c*x + 3*a*b**2*x + 12*a*b*c*x + 3*a*c**2*x + b**3*x + 6*b**2*c*x + 3*b*c**2*x)/(2*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
MD = M*(4*L**2*a**2 + 2*L**2*a*b + 6*L**2*a*c + L**2*b**2 + 6*L**2*b*c - 4*L*a**3 - 6*L*a**2*b - 6*L*a**2*c - 4*L*a**2*x - 3*L*a*b**2 - 12*L*a*b*c - 2*L*a*b*x - 3*L*a*c**2 - 6*L*a*c*x - L*b**3 - 6*L*b**2*c - L*b**2*x - 3*L*b*c**2 - 6*L*b*c*x + 4*a**3*x + 6*a**2*b*x + 6*a**2*c*x + 3*a*b**2*x + 12*a*b*c*x + 3*a*c**2*x + b**3*x + 6*b**2*c*x + 3*b*c**2*x)/(2*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))

Esforços cortantes

VA = M*(4*L**2*a + 4*L**2*b - 8*L*a**2 - 10*L*a*b - 6*L*a*c - 5*L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
VB = M*(4*L**2*a + 4*L**2*b - 8*L*a**2 - 10*L*a*b - 6*L*a*c - 5*L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
VC = M*(-4*L*a**2 - 2*L*a*b - 6*L*a*c - L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
VD = M*(-4*L*a**2 - 2*L*a*b - 6*L*a*c - L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))

Reações de apoio

R1 = M*(4*L**2*a + 4*L**2*b - 8*L*a**2 - 10*L*a*b - 6*L*a*c - 5*L*b**2 - 6*L*b*c + 4*a**3 + 6*a**2*b + 6*a**2*c + 3*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*L*(-L*a**2 - 2*L*a*b - L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))
R2 = M*(4*L**2*a + 4*L**2*b - 12*L*a**2 - 18*L*a*b - 6*L*a*c - 9*L*b**2 - 6*L*b*c + 8*a**3 + 18*a**2*b + 6*a**2*c + 15*a*b**2 + 12*a*b*c + 3*a*c**2 + 5*b**3 + 6*b**2*c + 3*b*c**2)/(2*(L**2*a**2 + 2*L**2*a*b + L**2*b**2 - 2*L*a**3 - 6*L*a**2*b - 6*L*a*b**2 - 2*L*b**3 + a**4 + 4*a**3*b + 6*a**2*b**2 + 4*a*b**3 + b**4))
R3 = M*(4*L*a**2 + 2*L*a*b + 6*L*a*c + L*b**2 + 6*L*b*c - 4*a**3 - 6*a**2*b - 6*a**2*c - 3*a*b**2 - 12*a*b*c - 3*a*c**2 - b**3 - 6*b**2*c - 3*b*c**2)/(2*L*(L**2*a + L**2*b - 2*L*a**2 - 4*L*a*b - 2*L*b**2 + a**3 + 3*a**2*b + 3*a*b**2 + b**3))