DV1-w

Viga duplo-vão com carga uniformemente distribuída em toda a viga

Informações sobre a figura e as equações:

As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

\(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
\(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
\(L\) - comprimento total da viga;
\(a\) - comprimento do tramo A;
\(w\) - carga distribuída uniforme;
\(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{w x \left(L^{2} a^{2} - L^{2} x^{2} - 3 L a^{3} + 3 L a x^{2} + a^{4} + a^{2} x^{2} - 2 a x^{3}\right)}{48 E I a}\)

\(\delta_B = \dfrac{w \left(- L^{3} a^{2} + 4 L^{3} a x - 3 L^{3} x^{2} - L^{2} a^{3} - L^{2} a^{2} x - 3 L^{2} a x^{2} + 5 L^{2} x^{3} + L a^{4} + L a^{3} x + 3 L a^{2} x^{2} - 3 L a x^{3} - 2 L x^{4} - a^{4} x - a^{2} x^{3} + 2 a x^{4}\right)}{48 E I \left(L - a\right)}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{w x \left(- L^{2} + 3 L a + a^{2} - 4 a x\right)}{8 a}\)

\(M_B = \dfrac{w \left(- L^{3} - L^{2} a + 5 L^{2} x + L a^{2} - 3 L a x - 4 L x^{2} - a^{2} x + 4 a x^{2}\right)}{8 \left(L - a\right)}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{w \left(- L^{2} + 3 L a + a^{2} - 8 a x\right)}{8 a}\)

\(V_B = \dfrac{w \left(5 L^{2} - 3 L a - 8 L x - a^{2} + 8 a x\right)}{8 \left(L - a\right)}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{w \left(- L^{2} + 3 L a + a^{2}\right)}{8 a}\)

\(R_2 = \dfrac{L w \left(- L^{2} - L a + a^{2}\right)}{8 a \left(- L + a\right)}\)

\(R_3 = \dfrac{w \left(- 3 L^{2} + 5 L a - a^{2}\right)}{8 \left(- L + a\right)}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = w*x*(L**2*a**2 - L**2*x**2 - 3*L*a**3 + 3*L*a*x**2 + a**4 + a**2*x**2 - 2*a*x**3)/(48*E*I*a)
deltaB = w*(-L**3*a**2 + 4*L**3*a*x - 3*L**3*x**2 - L**2*a**3 - L**2*a**2*x - 3*L**2*a*x**2 + 5*L**2*x**3 + L*a**4 + L*a**3*x + 3*L*a**2*x**2 - 3*L*a*x**3 - 2*L*x**4 - a**4*x - a**2*x**3 + 2*a*x**4)/(48*E*I*(L - a))

Momentos fletores

MA = w*x*(-L**2 + 3*L*a + a**2 - 4*a*x)/(8*a)
MB = w*(-L**3 - L**2*a + 5*L**2*x + L*a**2 - 3*L*a*x - 4*L*x**2 - a**2*x + 4*a*x**2)/(8*(L - a))

Esforços cortantes

VA = w*(-L**2 + 3*L*a + a**2 - 8*a*x)/(8*a)
VB = w*(5*L**2 - 3*L*a - 8*L*x - a**2 + 8*a*x)/(8*(L - a))

Reações de apoio

R1 = w*(-L**2 + 3*L*a + a**2)/(8*a)
R2 = L*w*(-L**2 - L*a + a**2)/(8*a*(-L + a))
R3 = w*(-3*L**2 + 5*L*a - a**2)/(8*(-L + a))