InícioBE9-ffestruturas.ufprVer outras vigas ☰

BE9-ff

Viga biengastada com duas cargas concentradas no vão assimétricas

F Carga concentrada F Carga concentrada Apoio engastado R1 M1 Apoio engastado R2 M2 A viga A viga A viga a Cota b Cota L Cota A x Identificador B Identificador C Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(F\) - carga concentrada;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{F x^{2} \left(- 3 L^{3} a + L^{3} x + 6 L^{2} a^{2} - 3 L^{2} b^{2} - 3 L a^{3} - 3 L a^{2} x + 3 L b^{3} + 3 L b^{2} x + 2 a^{3} x - 2 b^{3} x\right)}{6 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{F \left(L^{3} a^{2} \left(a - 3 x\right) + 3 L^{2} x^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + 3 L x^{2} \left(- a^{3} - a^{2} x + b^{3} + b^{2} x\right) + 2 x^{3} \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{6 E I L^{3}}\)

\(\delta_C = \dfrac{F \left(L^{3} \left(L^{3} - 3 L^{2} b - 3 L^{2} x + 3 L b^{2} + 6 L b x + 3 L x^{2} + a^{3} - 3 a^{2} x - b^{3} - 3 b^{2} x - 3 b x^{2} - x^{3}\right) + 3 L^{2} x^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + 3 L x^{2} \left(- a^{3} - a^{2} x + b^{3} + b^{2} x\right) + 2 x^{3} \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{6 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{F \left(- L^{3} a + L^{3} x + 2 L^{2} a^{2} - L^{2} b^{2} - L a^{3} - 3 L a^{2} x + L b^{3} + 3 L b^{2} x + 2 a^{3} x - 2 b^{3} x\right)}{L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{F \left(L^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + L \left(- a^{3} - 3 a^{2} x + b^{3} + 3 b^{2} x\right) + 2 x \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{L^{3}}\)

\(M_C = \dfrac{F \left(L^{3} \left(L - b - x\right) + L^{2} \left(2 a^{2} - b^{2}\right) + L \left(- a^{3} - 3 a^{2} x + b^{3} + 3 b^{2} x\right) + 2 x \left(a^{3} - b^{3}\right)\right)}{L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 3 L b^{2} + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{F \left(3 L \left(- a^{2} + b^{2}\right) + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(V_C = \dfrac{F \left(- L^{3} + 3 L \left(- a^{2} + b^{2}\right) + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{F \left(L^{3} - 3 L a^{2} + 3 L b^{2} + 2 a^{3} - 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(M_1 = \dfrac{F \left(L^{2} a - 2 L a^{2} + L b^{2} + a^{3} - b^{3}\right)}{L^{2}}\)

\(R_2 = \dfrac{F \left(L^{3} + 3 L a^{2} - 3 L b^{2} - 2 a^{3} + 2 b^{3}\right)}{L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{F \left(- L^{2} b - L a^{2} + 2 L b^{2} + a^{3} - b^{3}\right)}{L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = F*x**2*(-3*L**3*a + L**3*x + 6*L**2*a**2 - 3*L**2*b**2 - 3*L*a**3 - 3*L*a**2*x + 3*L*b**3 + 3*L*b**2*x + 2*a**3*x - 2*b**3*x)/(6*E*I*L**3)
deltaB = F*(L**3*a**2*(a - 3*x) + 3*L**2*x**2*(2*a**2 - b**2) + 3*L*x**2*(-a**3 - a**2*x + b**3 + b**2*x) + 2*x**3*(a**3 - b**3))/(6*E*I*L**3)
deltaC = F*(L**3*(L**3 - 3*L**2*b - 3*L**2*x + 3*L*b**2 + 6*L*b*x + 3*L*x**2 + a**3 - 3*a**2*x - b**3 - 3*b**2*x - 3*b*x**2 - x**3) + 3*L**2*x**2*(2*a**2 - b**2) + 3*L*x**2*(-a**3 - a**2*x + b**3 + b**2*x) + 2*x**3*(a**3 - b**3))/(6*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = F*(-L**3*a + L**3*x + 2*L**2*a**2 - L**2*b**2 - L*a**3 - 3*L*a**2*x + L*b**3 + 3*L*b**2*x + 2*a**3*x - 2*b**3*x)/L**3
MB = F*(L**2*(2*a**2 - b**2) + L*(-a**3 - 3*a**2*x + b**3 + 3*b**2*x) + 2*x*(a**3 - b**3))/L**3
MC = F*(L**3*(L - b - x) + L**2*(2*a**2 - b**2) + L*(-a**3 - 3*a**2*x + b**3 + 3*b**2*x) + 2*x*(a**3 - b**3))/L**3

Esforços cortantes

VA = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 3*L*b**2 + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
VB = F*(3*L*(-a**2 + b**2) + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
VC = F*(-L**3 + 3*L*(-a**2 + b**2) + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3

Reações de apoio

R1 = F*(L**3 - 3*L*a**2 + 3*L*b**2 + 2*a**3 - 2*b**3)/L**3
M1 = F*(L**2*a - 2*L*a**2 + L*b**2 + a**3 - b**3)/L**2
R2 = F*(L**3 + 3*L*a**2 - 3*L*b**2 - 2*a**3 + 2*b**3)/L**3
M2 = F*(-L**2*b - L*a**2 + 2*L*b**2 + a**3 - b**3)/L**2