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BE11-mo

Viga biengastada com momentos concentrados no vão assímetricos

M Momento concentrado M Momento concentrado Apoio engastado R1 M1 Apoio engastado R2 M2 A viga A viga A viga a Cota b Cota L Cota A x Identificador B Identificador C Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(M\) - momento concentrado;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{M x^{2} \left(- L^{3} + 4 L^{2} a + 2 L^{2} b - 3 L a^{2} - 2 L a x - 3 L b^{2} - 2 L b x + 2 a^{2} x + 2 b^{2} x\right)}{2 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{M \left(L^{3} a \left(a - 2 x\right) + 2 L^{2} x^{2} \left(2 a + b\right) - L x^{2} \left(3 a^{2} + 2 a x + 3 b^{2} + 2 b x\right) + 2 x^{3} \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{2 E I L^{3}}\)

\(\delta_C = \dfrac{M \left(L^{3} \left(L^{2} - 2 L b - 2 L x + a^{2} - 2 a x + b^{2} + 2 b x + x^{2}\right) + 2 L^{2} x^{2} \left(2 a + b\right) - L x^{2} \left(3 a^{2} + 2 a x + 3 b^{2} + 2 b x\right) + 2 x^{3} \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{2 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{M \left(- L^{3} + 4 L^{2} a + 2 L^{2} b - 3 L a^{2} - 6 L a x - 3 L b^{2} - 6 L b x + 6 a^{2} x + 6 b^{2} x\right)}{L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{M \left(2 L^{2} \left(2 a + b\right) - 3 L \left(a^{2} + 2 a x + b^{2} + 2 b x\right) + 6 x \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{L^{3}}\)

\(M_C = \dfrac{M \left(L^{3} + 2 L^{2} \left(2 a + b\right) - 3 L \left(a^{2} + 2 a x + b^{2} + 2 b x\right) + 6 x \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{6 M \left(- L a - L b + a^{2} + b^{2}\right)}{L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{6 M \left(- L \left(a + b\right) + a^{2} + b^{2}\right)}{L^{3}}\)

\(V_C = \dfrac{6 M \left(- L \left(a + b\right) + a^{2} + b^{2}\right)}{L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{6 M \left(- L a - L b + a^{2} + b^{2}\right)}{L^{3}}\)

\(M_1 = \dfrac{M \left(L^{2} - 4 L a - 2 L b + 3 a^{2} + 3 b^{2}\right)}{L^{2}}\)

\(R_2 = \dfrac{6 M \left(L a + L b - a^{2} - b^{2}\right)}{L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{M \left(L^{2} - 2 L a - 4 L b + 3 a^{2} + 3 b^{2}\right)}{L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = M*x**2*(-L**3 + 4*L**2*a + 2*L**2*b - 3*L*a**2 - 2*L*a*x - 3*L*b**2 - 2*L*b*x + 2*a**2*x + 2*b**2*x)/(2*E*I*L**3)
deltaB = M*(L**3*a*(a - 2*x) + 2*L**2*x**2*(2*a + b) - L*x**2*(3*a**2 + 2*a*x + 3*b**2 + 2*b*x) + 2*x**3*(a**2 + b**2))/(2*E*I*L**3)
deltaC = M*(L**3*(L**2 - 2*L*b - 2*L*x + a**2 - 2*a*x + b**2 + 2*b*x + x**2) + 2*L**2*x**2*(2*a + b) - L*x**2*(3*a**2 + 2*a*x + 3*b**2 + 2*b*x) + 2*x**3*(a**2 + b**2))/(2*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = M*(-L**3 + 4*L**2*a + 2*L**2*b - 3*L*a**2 - 6*L*a*x - 3*L*b**2 - 6*L*b*x + 6*a**2*x + 6*b**2*x)/L**3
MB = M*(2*L**2*(2*a + b) - 3*L*(a**2 + 2*a*x + b**2 + 2*b*x) + 6*x*(a**2 + b**2))/L**3
MC = M*(L**3 + 2*L**2*(2*a + b) - 3*L*(a**2 + 2*a*x + b**2 + 2*b*x) + 6*x*(a**2 + b**2))/L**3

Esforços cortantes

VA = 6*M*(-L*a - L*b + a**2 + b**2)/L**3
VB = 6*M*(-L*(a + b) + a**2 + b**2)/L**3
VC = 6*M*(-L*(a + b) + a**2 + b**2)/L**3

Reações de apoio

R1 = 6*M*(-L*a - L*b + a**2 + b**2)/L**3
M1 = M*(L**2 - 4*L*a - 2*L*b + 3*a**2 + 3*b**2)/L**2
R2 = 6*M*(L*a + L*b - a**2 - b**2)/L**3
M2 = M*(L**2 - 2*L*a - 4*L*b + 3*a**2 + 3*b**2)/L**2