BE10-m

Viga biengastada com momento concentrado no vão

Informações sobre a figura e as equações:

As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

\(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
\(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
\(L\) - comprimento total da viga;
\(M\) - momento concentrado;
\(a\) - comprimento do tramo A;
\(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{M x^{2} \left(- L^{3} + 4 L^{2} a - 3 L a^{2} - 2 L a x + 2 a^{2} x\right)}{2 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{M a \left(L^{3} \left(a - 2 x\right) + 4 L^{2} x^{2} - L x^{2} \left(3 a + 2 x\right) + 2 a x^{3}\right)}{2 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{M \left(- L^{3} + 4 L^{2} a - 3 L a^{2} - 6 L a x + 6 a^{2} x\right)}{L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{M a \left(4 L^{2} - 3 L \left(a + 2 x\right) + 6 a x\right)}{L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{6 M a \left(- L + a\right)}{L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{6 M a \left(- L + a\right)}{L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{6 M a \left(- L + a\right)}{L^{3}}\)

\(M_1 = \dfrac{M \left(L^{2} - 4 L a + 3 a^{2}\right)}{L^{2}}\)

\(R_2 = \dfrac{6 M a \left(L - a\right)}{L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{M a \left(- 2 L + 3 a\right)}{L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = M*x**2*(-L**3 + 4*L**2*a - 3*L*a**2 - 2*L*a*x + 2*a**2*x)/(2*E*I*L**3)
deltaB = M*a*(L**3*(a - 2*x) + 4*L**2*x**2 - L*x**2*(3*a + 2*x) + 2*a*x**3)/(2*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = M*(-L**3 + 4*L**2*a - 3*L*a**2 - 6*L*a*x + 6*a**2*x)/L**3
MB = M*a*(4*L**2 - 3*L*(a + 2*x) + 6*a*x)/L**3

Esforços cortantes

VA = 6*M*a*(-L + a)/L**3
VB = 6*M*a*(-L + a)/L**3

Reações de apoio

R1 = 6*M*a*(-L + a)/L**3
M1 = M*(L**2 - 4*L*a + 3*a**2)/L**2
R2 = 6*M*a*(L - a)/L**3
M2 = M*a*(-2*L + 3*a)/L**2