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AE6-pv

Viga apoio-engaste com carga uniforme distribuída em parte do vão

w Carga distribuída uniforme Apoio simples R1 Apoio engastado R2 M2 A viga A viga A viga a Cota b Cota L Cota A x Identificador B Identificador C Identificador flechas Flechas da viga momento fletor Momento fletor da viga esforço cortante Esforço cortante da viga

Informações sobre a figura e as equações:

  • As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
  • Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
  • Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
  • As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

  • \(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
  • \(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
  • \(L\) - comprimento total da viga;
  • \(a\) - comprimento do tramo A;
  • \(b\) - comprimento do tramo B;
  • \(w\) - carga distribuída uniforme;
  • \(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{b w x \left(- 12 L^{4} a - 6 L^{4} b + 24 L^{3} a^{2} + 24 L^{3} a b + 8 L^{3} b^{2} + 8 L^{3} x^{2} - 12 L^{2} a^{3} - 18 L^{2} a^{2} b - 12 L^{2} a b^{2} - 12 L^{2} a x^{2} - 3 L^{2} b^{3} - 6 L^{2} b x^{2} + 4 a^{3} x^{2} + 6 a^{2} b x^{2} + 4 a b^{2} x^{2} + b^{3} x^{2}\right)}{48 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{w \left(2 L^{3} \left(- 6 L a b x - 3 L b^{2} x - a^{4} + 4 a^{3} x + 12 a^{2} b x - 6 a^{2} x^{2} + 12 a b^{2} x + 4 a x^{3} + 4 b^{3} x + 4 b x^{3} - x^{4}\right) - 3 L^{2} b x \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + 4 a x^{2} + b^{3} + 2 b x^{2}\right) + b x^{3} \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)\right)}{48 E I L^{3}}\)

\(\delta_C = \dfrac{b w \left(2 L^{3} \left(- 6 L a x - 3 L b x + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + 12 a x^{2} + b^{3} + 6 b x^{2}\right) - 3 L^{2} x \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + 4 a x^{2} + b^{3} + 2 b x^{2}\right) + x^{3} \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)\right)}{48 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{b w x \left(8 L^{3} - 12 L^{2} a - 6 L^{2} b + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)}{8 L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{w \left(4 L^{3} \left(- a^{2} + 2 a x + 2 b x - x^{2}\right) - 6 L^{2} b x \left(2 a + b\right) + b x \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)\right)}{8 L^{3}}\)

\(M_C = \dfrac{b w \left(4 L^{3} \left(2 a + b\right) - 6 L^{2} x \left(2 a + b\right) + x \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)\right)}{8 L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{b w \left(8 L^{3} - 12 L^{2} a - 6 L^{2} b + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)}{8 L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{w \left(8 L^{3} \left(a + b - x\right) - 6 L^{2} b \left(2 a + b\right) + b \left(4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)\right)}{8 L^{3}}\)

\(V_C = \dfrac{b w \left(- 6 L^{2} \left(2 a + b\right) + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)}{8 L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{b w \left(8 L^{3} - 12 L^{2} a - 6 L^{2} b + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)}{8 L^{3}}\)

\(R_2 = \dfrac{b w \left(12 L^{2} a + 6 L^{2} b - 4 a^{3} - 6 a^{2} b - 4 a b^{2} - b^{3}\right)}{8 L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{b w \left(- 4 L^{2} a - 2 L^{2} b + 4 a^{3} + 6 a^{2} b + 4 a b^{2} + b^{3}\right)}{8 L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = b*w*x*(-12*L**4*a - 6*L**4*b + 24*L**3*a**2 + 24*L**3*a*b + 8*L**3*b**2 + 8*L**3*x**2 - 12*L**2*a**3 - 18*L**2*a**2*b - 12*L**2*a*b**2 - 12*L**2*a*x**2 - 3*L**2*b**3 - 6*L**2*b*x**2 + 4*a**3*x**2 + 6*a**2*b*x**2 + 4*a*b**2*x**2 + b**3*x**2)/(48*E*I*L**3)
deltaB = w*(2*L**3*(-6*L*a*b*x - 3*L*b**2*x - a**4 + 4*a**3*x + 12*a**2*b*x - 6*a**2*x**2 + 12*a*b**2*x + 4*a*x**3 + 4*b**3*x + 4*b*x**3 - x**4) - 3*L**2*b*x*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + 4*a*x**2 + b**3 + 2*b*x**2) + b*x**3*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3))/(48*E*I*L**3)
deltaC = b*w*(2*L**3*(-6*L*a*x - 3*L*b*x + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + 12*a*x**2 + b**3 + 6*b*x**2) - 3*L**2*x*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + 4*a*x**2 + b**3 + 2*b*x**2) + x**3*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3))/(48*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = b*w*x*(8*L**3 - 12*L**2*a - 6*L**2*b + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3)/(8*L**3)
MB = w*(4*L**3*(-a**2 + 2*a*x + 2*b*x - x**2) - 6*L**2*b*x*(2*a + b) + b*x*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3))/(8*L**3)
MC = b*w*(4*L**3*(2*a + b) - 6*L**2*x*(2*a + b) + x*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3))/(8*L**3)

Esforços cortantes

VA = b*w*(8*L**3 - 12*L**2*a - 6*L**2*b + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3)/(8*L**3)
VB = w*(8*L**3*(a + b - x) - 6*L**2*b*(2*a + b) + b*(4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3))/(8*L**3)
VC = b*w*(-6*L**2*(2*a + b) + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3)/(8*L**3)

Reações de apoio

R1 = b*w*(8*L**3 - 12*L**2*a - 6*L**2*b + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3)/(8*L**3)
R2 = b*w*(12*L**2*a + 6*L**2*b - 4*a**3 - 6*a**2*b - 4*a*b**2 - b**3)/(8*L**3)
M2 = b*w*(-4*L**2*a - 2*L**2*b + 4*a**3 + 6*a**2*b + 4*a*b**2 + b**3)/(8*L**2)