AE11-mo

Viga apoio-engaste com momentos concentrados no vão assímetricos

Informações sobre a figura e as equações:

As equações são definidas por tramos (tramo A, B...) e válidas somente no tramo indicado no índice (por exemplo, \(M_A\) é a equação do momento fletor somente para o tramo A);
Os valores de \(x\) começam em zero no início da viga à esquerda e vão até o valor do comprimento total da viga, no final da viga à direita, portanto, para usar uma equação de um segundo tramo, pode exemplo tramo B, deve-se calcular os valores de \(x\) para esse tramo (por exemplo, se o tramo anterior ao B é o primeiro tramo da viga e tem comprimento de 2,5 metros, o valor de x inicial do tramo B para ser utilizado nas equações é 2,5 metros. No primeiro tramo, \(x\) começa em zero);
Os gráficos de flechas, momentos e cortes estão com valores de escala constante e apenas representam o traçado do diagrama;
As reações de apoio indicadas na figura estão sempre no sentido positivo da reação. Caso alguma reação tenha o sentido negativo será definido pelo sinal da equação;

Legenda:

\(E\) - módulo de elasticidade do material da viga;
\(I\) - inércia da seção transversal da viga (em torno no eixo que sai da tela);
\(L\) - comprimento total da viga;
\(M\) - momento concentrado;
\(a\) - comprimento do tramo A;
\(b\) - comprimento do tramo B;
\(x\) - posição em uma parte qualquer de um tramo da viga;

Equações

Flechas

\(\delta_A = \dfrac{M x \left(- L^{4} + 4 L^{3} a + 2 L^{3} b - 3 L^{2} a^{2} - 3 L^{2} b^{2} - L^{2} x^{2} - 2 L b x^{2} + a^{2} x^{2} + b^{2} x^{2}\right)}{4 E I L^{3}}\)

\(\delta_B = \dfrac{M \left(L^{3} \left(- L x + 2 a^{2} + 2 b x + 2 x^{2}\right) - L^{2} x \left(3 a^{2} + 3 b^{2} + x^{2}\right) - 2 L b x^{3} + x^{3} \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{4 E I L^{3}}\)

\(\delta_C = \dfrac{M \left(L^{3} \left(2 L^{2} - 4 L b - 5 L x + 2 a^{2} + 2 b^{2} + 6 b x + 4 x^{2}\right) - L^{2} x \left(3 a^{2} + 3 b^{2} + x^{2}\right) - 2 L b x^{3} + x^{3} \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{4 E I L^{3}}\)

Momentos fletores

\(M_A = \dfrac{3 M x \left(- L^{2} - 2 L b + a^{2} + b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

\(M_B = \dfrac{M \left(2 L^{3} - 3 L^{2} x - 6 L b x + 3 x \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{2 L^{3}}\)

\(M_C = \dfrac{M \left(4 L^{3} - 3 L^{2} x - 6 L b x + 3 x \left(a^{2} + b^{2}\right)\right)}{2 L^{3}}\)

Esforços cortantes

\(V_A = \dfrac{3 M \left(- L^{2} - 2 L b + a^{2} + b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

\(V_B = \dfrac{3 M \left(- L^{2} - 2 L b + a^{2} + b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

\(V_C = \dfrac{3 M \left(- L^{2} - 2 L b + a^{2} + b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

Reações de apoio

\(R_1 = \dfrac{3 M \left(- L^{2} - 2 L b + a^{2} + b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

\(R_2 = \dfrac{3 M \left(L^{2} + 2 L b - a^{2} - b^{2}\right)}{2 L^{3}}\)

\(M_2 = \dfrac{M \left(L^{2} - 6 L b + 3 a^{2} + 3 b^{2}\right)}{2 L^{2}}\)

Equações em python

Flechas

deltaA = M*x*(-L**4 + 4*L**3*a + 2*L**3*b - 3*L**2*a**2 - 3*L**2*b**2 - L**2*x**2 - 2*L*b*x**2 + a**2*x**2 + b**2*x**2)/(4*E*I*L**3)
deltaB = M*(L**3*(-L*x + 2*a**2 + 2*b*x + 2*x**2) - L**2*x*(3*a**2 + 3*b**2 + x**2) - 2*L*b*x**3 + x**3*(a**2 + b**2))/(4*E*I*L**3)
deltaC = M*(L**3*(2*L**2 - 4*L*b - 5*L*x + 2*a**2 + 2*b**2 + 6*b*x + 4*x**2) - L**2*x*(3*a**2 + 3*b**2 + x**2) - 2*L*b*x**3 + x**3*(a**2 + b**2))/(4*E*I*L**3)

Momentos fletores

MA = 3*M*x*(-L**2 - 2*L*b + a**2 + b**2)/(2*L**3)
MB = M*(2*L**3 - 3*L**2*x - 6*L*b*x + 3*x*(a**2 + b**2))/(2*L**3)
MC = M*(4*L**3 - 3*L**2*x - 6*L*b*x + 3*x*(a**2 + b**2))/(2*L**3)

Esforços cortantes

VA = 3*M*(-L**2 - 2*L*b + a**2 + b**2)/(2*L**3)
VB = 3*M*(-L**2 - 2*L*b + a**2 + b**2)/(2*L**3)
VC = 3*M*(-L**2 - 2*L*b + a**2 + b**2)/(2*L**3)

Reações de apoio

R1 = 3*M*(-L**2 - 2*L*b + a**2 + b**2)/(2*L**3)
R2 = 3*M*(L**2 + 2*L*b - a**2 - b**2)/(2*L**3)
M2 = M*(L**2 - 6*L*b + 3*a**2 + 3*b**2)/(2*L**2)